Orvosi tanulmányait Budapesten végezte, ahol 1881-ben avatták orvosdoktorrá. Bár szigorlatait többnyire csak elégséges szinten teljesítette, több pályadíjat is megnyert, V. éves korában Lenhossék József asszisztense az Anatómiai Intézetben, majd Scheuthauer Gusztáv első munkatársa lett a Kórbonctani Intézetben. Ígéretesen induló tudományos karrierjét édesapja kedvéért szakította meg, és 1882-ben visszatért Késmárkra praktizálni. Röntgenkísérletekkel 1898-ban, 3 évvel Konrad Röntgen felfedezése után kezdett foglalkozni. Eredményeire csakhamar a német Röntgen Gesellschaft is felfigyelt, majd a budapesti Orvoskar figyelmébe ajánlotta a fiatal Alexandert. Hosszas tervezgetés után a kar 1907 szeptemberében állította fel a Központi Röntgen laboratóriumot, melynek vezetőjévé Alexander Bélát hívták meg Késmárkról. Az akkoriban kiépülő Orvoskar pillanatnyi szűkös helyviszonyai miatt kezdetben az Apponyi-poliklinika Szövetség utcai épületében béreltek helyiséget az új intézmény számára. 1909-től Alexander a radiológia első magántanára és előadója Magyarországon, majd 1914-től rendkívüli egyetemi tanár. Ugyanezen év szeptemberétől laboratóriumát végre a kar központi épületében helyezték el, megfelelő körülmények között. Alexandernek köszönhető, hogy az orvosi radiológia külön diszciplínaként kapott létjogosultságot az egyetemen. A kíméletlen munkatempó és a hosszú évek alatt elszenvedett sugárártalom végzetesen aláásta egészségét, míg végül az influenza 1916. január 16-án a halálba ragadta. Szomorú és jellemző is egyben, hogy küzdelmes pályája során elismerés sokkal inkább külföldről érte Alexandert, semmint saját hazájában

Fő műve:
Die Untersuchung der Nieren und Harnwege mit X-Strahlen, Leipzig, 1912.
Orvosi publikációi száma 100 körül van, főleg radiológiai témában.

A Tátra nagy szerelmese volt, verseket írt róla, néhány megjelent a Karpathen-Post-ban. Költői tevékenységét Lám Frigyes: „Dr Béla Alexander (1856-1916). Ein Zipser Mundartdichter, (Karp. Post, 57, 1936, 4-5. számban)” méltatta.